министерство образования и науки                           российской федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Электронное учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией физического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 03.03.02 «Физика», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», 28.03.01 «Нанотехнология и микросистемная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии».

Нижний Новгород                                                                                              2017

УДК 531/534
ББК 22.21
        П-27

П-27 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ: Составители: Перов А.А., Тележников А.В., Хомицкий Д.В. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2017. – 78 с.

Рецензент: д.п.н., профессор И.В.Гребенев 

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов второго курса физического факультета ННГУ, изучающих общий курс «Теоретическая механика», на всех направлениях подготовки в бакалавриате. Оно содержит краткие теоретические введения, подробно рассмотренные примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения по всем основным разделам курса. 

Ответственный за выпуск:
председатель методической комиссии
физического факультета ННГУ, к.ф.-м.н., доцент Сдобняков В.В.

УДК 531/534
ББК 22.21

© А.А.Перов, А.В.Тележников, Д.В.Хомицкий, 2017
© Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского, 2017

Предисловие

	Общий курс «Теоретическая механика» является первой дисциплиной, изучаемой студентами физического факультета ННГУ в рамках цикла «Теоретическая физика». От умения грамотно составлять математические модели динамики механических систем и находить для них аналитические и численные решения зависит формирование целого ряда компетенций, необходимых будущим выпускникам-бакалаврам различных направлений. Курс теоретической механики традиционно насыщен задачами, требующими для своей постановки хорошего физического мышления и развитых навыков составления математических моделей. Далее, для решения получаемых уравнений от студентов требуются устойчивые навыки владения разнообразным математическим аппаратом, где можно отметить методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, методы математического анализа и математической физики. Всё это создаёт значительные сложности для многих студентов, изучающих теоретическую механику, а сама дисциплина имеет репутацию трудной для освоения.
	По теоретической механике имеется богатый выбор учебной и методической литературы. Однако, большинство из широко известных пособий отличает достаточно высокий входной уровень требований, предъявляемых для изучающих теоретическую механику, что не всегда позволяет  воспользоваться данными пособиями в полной мере. Мы видели свою задачу в составлении такого пособия по курсу теоретической механики, которое бы сочетало черты элементарного учебника в рамках начал дисциплины с относительной строгостью и полнотой изложения для рассматриваемых примеров решения задач. Оно содержит краткие теоретические введения, подробно рассмотренные примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения по всем основным разделам курса. 
Данное пособие является дополнительным для изучающего курс лекций по теоретической механике, может использоваться при подготовке к практическим занятия, а также для самостоятельной работы студентов. Оно может помочь студентам в самостоятельном изучении учебной литературы по теоретической механике, список которой приведён в конце данного пособия, что, по нашему мнению, является необходимым условием успешного овладения формируемыми в рамках дисциплины компетенциями.
Авторы выражают благодарность коллективу кафедры теоретической физики физического факультета ННГУ, в сотрудничестве с которым составлялось данное пособие. Авторы также благодарят рецензента данного пособия профессора Гребенева Игоря Васильевича за плодотворную работу, позволившую внести ряд улучшений в его текст.

Глава 1. Ньютонова механика

	Основной задачей механики является расчёт движения механической системы, т.е. знание положения составляющих её частей в любой момент времени. При этом требуется знать силы, действующие на систему, а также её положение и скорость в некоторый начальный момент времени. Под системой мы будем понимать набор конечного числа материальных точек либо твёрдое тело конечных размеров и определённой формы. 
Мы начнём описание движения системы с уравнений движения одной материальной точки массы m, траектория движения которой в пространстве относительно некоторой инерциальной системы отсчёта в различные моменты времени t определяется её радиус-вектором r(t). Если на материальную точку действует сила F(r, t), то динамика точки определяется согласно второму закону Ньютона:

.					(1.1)

Уравнение (1.1) представляет собой систему трёх дифференциальных уравнений второго порядка для трёх проекций вектора второй производной от радиус-вектора по времени, т.е. для компонент вектора ускорения частицы. Оно может быть записано в различных системах координат. Его решение требует знания начальных условий, а именно, начального радиус-вектора r0=r(0) и начальной скорости v0=v(0). 
	Со скоростью материальной точки v=dr/dt связан её импульс p=mv. Второй закон Ньютона (1.1) может быть записан в форме

.					(1.2)

Если векторная сумма сил, действующих на материальную точку, равна нулю, то из (1.2) видно, что в этом случае dp/dt=0, т.е. импульс сохраняется во времени и остаётся равным своему начальному значению p=p(0).
	Движение частицы с радиус-вектором r(t) и импульсом p(t) также описывается её моментом импульса M(r, t)=[r(t), p(t)], обычно описывающим динамику с вращением вокруг какой-либо оси. Дифференциальное уравнение для изменения момента импульса напоминает уравнение (1.2), с той разницей, что в его правую часть входит момент силы F(r, t), равный  K=[r(t), F(r, t)]:
.					(1.3)

Если векторная сумма приложенных к материальной точке моментов сил равна нулю, то момент импульса остаётся постоянным во времени, M=M(0).
	Первостепенное значение помимо законов динамики и сохранения импульса и момента импульса имеют также законы изменения или сохранения энергии. Если сила, действующая на материальную точку, может быть выражена как градиент некоторой скалярной функции, то такая сила  называется потенциальной:

.				(1.4)

Функцию U(r, t) называют потенциальной энергией системы. Её общий вид можно получить из (1.4) в виде неопределённого интеграла в форме

.					(1.5)

Рассмотрим вначале стационарное, т.е. не зависящее от времени потенциальное поле U(r).  Работа силы при перемещении точки из положения 1 в положение 2, определяемая как криволинейный интеграл , для потенциальной и стационарной силы не зависит от траектории, соединяющей начальную и конечную точку, и равна разности потенциальной энергии в этих точках,

A12 = U1 – U2.					(1.6)

Полная механическая энергия E материальной точки складывается из суммы кинетической энергии T=mv2/2, где v=|v|, и потенциальной энергии U(r, t). Если потенциальное поле является стационарным, то механическая система называется консервативной, а полная энергия такой системы сохраняется во времени и равна своему значению E в начальный момент времени:

.					(1.7)

Закон сохранения полной механической энергии (1.7) позволяет во многих случаях определить явный вид траектории движения r(t) для консервативной системы. 
	Если потенциальная энергия является нестационарной, т.е. зависящей от времени, то полная энергия (1.7) не сохраняется. Также она не сохраняется при действии на материальную точку диссипативной силы Fd (например, силы трения), направленной противоположно скорости движения частицы v: 

Fd = – kv,						(1.8)

где k есть положительная скалярная величина. На систему могут действовать ещё так называемые гироскопические силы, перпендикулярные скорости частицы, например, сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на заряженную движущуюся частицу. Однако гироскопические силы не вносят вклад в изменение полной энергии. При наличии нестационарной потенциальной энергии U(r, t) и диссипативной силы Fd изменение полной энергии E(t) во времени определяется выражением

.					(1.9)

Обратим внимание на то, что скорость изменения полной энергии (1.9) в общем случае зависит от времени как явно, так и через зависимость от времени координат и компонент скорости материальной точки. 
	Различают прямую и обратную задачу механики. Прямая задача механики заключается в определении траектории движения системы при известных силах, действующих на неё. Обратная задача механики состоит в расчёте действующих на систему сил, энергии системы, и иных характеристик динамики при известной траектории движения. Ниже будут рассмотрены несколько примеров как прямой, так и обратной задач механики.

Пример 1.1.
Заряженная частица массы m, имеющая заряд e, движется в переменном во времени и однородном в пространстве электрическом поле плоского конденсатора, меняющимся во времени по закону , где E0 и ω есть постоянные величины. В моменте времени t=0 частица находится в точке с радиус-вектором r0 и имеет скорость v0. Найти закон движения частицы и изменение во времени её полной механической энергии. [3]

Решение. Выберем ось Ox вдоль направления электрического поля, а плоскость (xy) совместим с плоскостью движения. Тогда начальные радиус-вектор и скорость частицы будут иметь компоненты r0=(x0, y0, z0) и               v0=(vx0, vy0, 0). Со стороны электрического поля на заряд действует сила . Записывая второй закон Ньютона (1.1), мы получаем систему уравнений для динамики частицы:

					(1.10)

Интегрируя уравнения системы (1.10) дважды по времени, мы получаем общее решение в виде

Используя начальные условия задачи для начальных радиус-вектора и скорости частицы, мы определяем значения постоянных C1…C6. В результате закон движения частицы во времени принимает вид

			(1.11)

Из решения (1.11) можно сделать вывод, что движение частицы всё время происходит в плоскости (xy), причём вдоль оси Oy движение происходит с постоянной скоростью, поскольку сила действует лишь вдоль оси Ox. 
	Для нахождения закона изменения полной энергии частицы вначале вычислим её потенциальную энергию согласно (1.5):

.			(1.12)

Из (1.12) видно, что как полная, так и частная производная по времени от потенциальной энергии отлична от нуля, т.е. потенциальное поле, в котором движется частица, является нестационарным. Это означает, что полная механическая энергия в таком поле не сохраняется. Используя выражение (1.9) для производной от полной энергии E в отсутствии диссипативной силы, мы получаем, что

.				(1.13)

Скорость изменения полной энергии (1.13) зависит от времени как явно, так и через закон изменения координаты x(t), который даётся первым из соотношений системы (1.11). 

Пример 1.2.
Материальная точка массы m  движется в поле некоторой потенциальной силы так, что её декартовы координаты изменяются по известному закону: x(t)=a cos ωt, y(t)=b sin ωt, z(t)=v0 t, где a, b, ω, v0 есть постоянные параметры. Найти силу, действующие на материальную точку, потенциальную энергию и полную механическую энергию. [6]

Решение. Для вычисления декартовых компоненты силы, действующей на частицы, воспользуемся вторым законом Ньютона в форме (1.1):

			(1.14)

Поскольку компонента силы вдоль Oz равна нулю, соответствующая компонента импульса pz=mv0 сохраняется во времени. 
	Для вычисления полной энергии E = T + U вычислим отдельно кинетическую энергию по известному закону изменения координат во времени,
,	    (1.15)

и потенциальную энергию, которую согласно (1.5) можно представить в форме неопределённого интеграла как

.			(1.16)

Подставив (1.9) в (1.11) и опустив несущественную константу С, мы получим, что потенциальная энергия определяется выражением

.			(1.17)

Можно видеть, что поле U(x,y) не зависит явно от времени, поскольку , поэтому полная механическая энергия сохраняется. Для её вычисления по формуле  E = T + U сложим правые части (1.15) и (1.17), подставив в (1.17) явную зависимость координат от времени. Приведя подобные слагаемые с использованием тригонометрического тождества , мы получим, что

.			(1.18)

Из (1.18) видно, что полная энергия зависит только от параметров траектории и массы материальной точки, и сохраняется во времени.

Пример 1.3.
Известен закон колебаний математического маятника, представляющего собой материальную точку массы m, закреплённую на конце нити длины l, колеблющегося в поле тяжести с ускорением свободного падения g: угол отклонения нити от вертикали меняется по закону φ(t)=φ0 cos ωt, где параметры φ0 и ω известны. Найти силу натяжения нити Fн как функцию угла отклонения маятника φ. [6]

Решение. В неинерциальной системе отсчёта, связанной с материальной точкой, сила натяжения нити уравновешивает сумму сил: проекцию силы тяжести на направление нити, и центробежную силу кругового движения массы m по радиусу, равному длине нити l. Вычисляем центробежную силу:

,
или
.					(1.19)

Проекция силы тяжести на направление нити зависит от угла отклонения маятника и равна
.					(1.20)

Складывая (1.19) и (1.20), находим силу натяжения нити Fн = Fцб + Fт:

.

Пример 1.4.
Материальная точка массы m движется в вязкой среде вдоль направления Ox по закону , где v0 и α есть постоянные параметры, причём α>0. Предполагая, что на точку действует только диссипативная сила Fd вида (1.8), найти её. [6]

Решение.
Выражение (1.8) для диссипативной силы содержит положительный коэффициент k, который также подлежит определению. Вычисляя диссипативную силу согласно (1.8), с учётом данного в условии задачи закона движения x(t), находим, что

.		(1.21)

С другой стороны, по второму закону Ньютона (1.1) единственная действующая на материальную точку диссипативная сила связана с ускорением движения как 

.		(1.22)

Выражение (1.22) полностью определяет диссипативную силу. Сравнивая (1.22) и (1.21), мы находим, что в выражении (1.8) для диссипативной силы в данной задаче коэффициент k=α, и при α>0 выполнено необходимое условие k>0.

Задачи для самостоятельного решения

1.1.	Частица с массой m и зарядом e попадает в однородное тормозящее электрическое поле E со скоростью v0, параллельной направлению поля. Определить время, через которое частица вернётся в начальную точку.
1.2.	Частица с массой m движется по закону x(t)=a cos ωt, y(t)=b sin ωt, z(t)=v0t + gt2/2. Изобразить траекторию движения, найти действующую на частицу силу, вычислить полную механическую энергию.
1.3.	Частица с массой m движется в однородном поле тяжести с ускорением g. На частицу также действует сила сопротивления среды Fd= –γv. Определить закон движения частицы.
1.4.	Частица с массой m и зарядом e попадает в однородное стационарное магнитное поле H со скоростью v0, перпендикулярной направлению поля. На частицу также действует сила сопротивления среды Fd= –γv. Определить закон движения частицы.
1.5.	Тело с массой m падает без начальной скорости в однородном поле тяжести с ускорением g. На частицу также действует сила сопротивления среды, пропорциональная квадрату скорости:                  Fd= –βv·|v|. Определить зависимость скорости движения частицы от времени. К какому пределу стремится скорость при возрастании времени?
Глава 2. Уравнения Лагранжа

	Помимо геометрических координат точек, выражаемых их радиус-векторами в определённой системе отсчёта, эволюция механической системы может описываться некоторым другим набором зависящих от времени функций q1(t),…,qs(t). Число s независимых координат, полностью определяющих положение системы в пространстве, называется числом её степеней свободы. Производные по времени  называются обобщёнными скоростями.
	Эволюция во времени обобщённых координат удовлетворяет принципу наименьшего действия, или принципу Гамильтона: между моментами времени t1 и t2 система движется по такой траектории, определяемой набором обобщённых координат q(t)={q1(t),…,qs(t)} и обобщённых скоростей , что интеграл
					(2.1)
принимает на траектории движения минимальное значение. Входящая в (2.1) функция  называется функцией Лагранжа.  Можно показать [1], что из условия минимума функционала (2.1), аргументом которого является функция q(t)={q1(t),…,qs(t)}, следуют уравнения эволюции для обобщённых координат и обобщённых скоростей, называемые уравнениями Лагранжа:

,	i=1,…,s.			(2.2)

Система уравнений (2.2) представляет собой систему s дифференциальных уравнений второго порядка, частное решение которой можно найти, зная 2s постоянных, описывающих начальные значения обобщённых координат и скоростей.
В случае системы материальных точек, описываемой уравнениями механики Ньютона, рассмотренными в предыдущей главе, уравнения Лагранжа должны переходить в уравнения Ньютона. Для системы из N материальных точек с наборами обобщённых координат q(i), i=1,…,N, взаимодействие между которыми выражается через потенциальную энергию U(q(1),…, q(N)), постоянную во времени, получим следующий вид функции Лагранжа:

,				(2.3)

где T есть суммарная кинетическая энергия составляющих систему материальных точек. Если обобщённые координаты совпадают с обычными декартовыми координатами в пространстве, и скорость i-й материальной точки с массой mi равна vi , то кинетическая энергия системы .
	Если две функции Лагранжа L1 и L2 отличаются друг от друга на полную производную от времени от некоторой функции f(q,t), т.е.                

L2=L1+df(q,t)/dt, 					(2.4)

то такие функции Лагранжа отвечают одним и тем же уравнения движения (2.2).
	В механической системе возможно наличие связей, уменьшающих число независимых обобщённых координат, потребных для описания системы. Если связи можно представить в виде p уравнений вида , которые позволяют исключить из рассмотрения какие-либо p обобщённых координат, то число степеней свободы уменьшится на p. Такие связи называют голономными. Если же число степеней свободы меняется в процессе эволюции, то связи называются неголономными.

Пример 2.1.
Написать функцию Лагранжа плоского математического маятника, точка подвеса которого совершает горизонтальные колебания по закону  (рис.2.1) [1].

Решение. Декартовы координаты груза (x,y) выражаются через угол отклонения маятника φ следующим образом: 

Кинетическая энергия двумерного движения маятника есть энергия движения материальной 

Рис.2.1. Математический маятник

точки с массой m:  .
Потенциальная энергия маятника: .
Функция Лагранжа (2.3):
 
Заметим, что в соответствии с (2.4) слагаемое  не зависит от скоростей и представимо в виде полной производной по времени от некоторой функции. Оно может не учитываться в функции Лагранжа, поскольку не влияет на уравнения движения системы. Поэтому окончательно будем иметь следующий вид функции Лагранжа:

Пример 2.2.
Написать функцию Лагранжа двойного плоского математического маятника	, состоящего из двух материальных точек с массами m1,2. Точка подвеса второй материальной точки находится на конце подвеса, где расположена первая материальная точка (рис.2.2) [1].

Решение. В качестве обобщённых координат выберем углы φ1,2, которые образуют с вертикалью нити l1,2, за которые подвешены материальные точки. Для первой массы m1 кинетическая энергия , и потенциальная энергия в поле тяжести . Для записи кинетической энергии второй массы необходимо выразить её декартовы координаты через углы φ1,2:
 .

Рис.2.2. Двойной математический маятник 

Эти выражения следует продифференцировать по времени и подставить в формулу для кинетической энергии , откуда получим: . Потенциальная энергия массы m2 в поле тяжести записывается аналогично выражению для массы m1:
.
Объединяя полученные выражения, записываем функцию Лагранжа L=T1+T2–U1–U2:

Пример 2.3 (машина Атвуда).
Составить функцию Лагранжа и записать уравнения Лагранжа для системы двух грузов с массами m1 и m2, соединённых нерастяжимой нитью  длины l, переброшенной через блок, и движущихся в поле тяжести. Размерами и движением блока пренебречь. Трения и проскальзывания в блоке нет (рис.2.3) [5] .
Решение. В данной системы есть две массы m1 и m2, которым вначале можно сопоставить две обобщённых координаты, например, их положение y1,2 вдоль вертикальной оси Oy. Однако, в системе имеется одна голономная связь, заключающаяся в постоянном значении суммарной координаты этих масс, связанных нерастяжимой нитью длины l:

y1 + y2 = l.			(2.5)

Рис.2.3. Машина Атвуда

Наличие связи уменьшает число степеней свободы на одну, оставляя 

лишь одну степень свободы, например, координату первой массы y1=y. При этом y2 = l – y1. Для обобщённых скоростей, т.е. производных по времени от координат, имеем  . С учётом данной связи можно записать кинетическую и потенциальную энергию системы двух масс:
,
.

Записываем функцию Лагранжа L=T – U:

.
Записываем уравнение Лагранжа (2.2):
,
или
.					(2.6)

Последнее уравнение может быть получено и методами ньютоновской механики, рассмотренными в предыдущей главе. При равенстве масс грузы  не получают ускорения от воздействия силы тяжести, уравновешивая друг друга. Обратим внимание также на то, что в (2.6) не входит длина нити, связывающей грузы, поскольку этот параметр входит только в выражение (2.5) для кинематической связи координат грузов.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. С помощью функции Лагранжа получите уравнение движения системы, представленной на рисунке. Трение отсутствует. Верхний грузик движется только по вертикали, нижний – только по горизонтали (см. рис.2.4).

Рис.2.4. Колебательная система

2.2. Шарик массы  прикреплен к нерастяжимой нити, другой конец которой прикреплен к верхней точке неподвижного блока радиуса  (см. рис.2.5). Шарик движется в плоскости рисунка так, что нить все время натянута. Длина не намотанной на блок нити, когда она находится в вертикальном положении, равна . Напишите функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа. 

Рис.2.5. Иллюстрация к задаче 2.2

2.3. Составьте функцию Лагранжа диполя, образованного двумя противоположно заряженными массами  и , находящегося в вертикальной плоскости и помещенного в поле силы тяжести и поле однородного электрического поля E.
2.4. Двумерная частица движется в потенциале , где r есть радиус-вектор и a  – постоянный вектор. Напишите уравнения Лагранжа для данной частицы, а также найдите силу F, действующую на частицу.
2.5. С помощью функции Лагранжа запишите уравнение движения частицы в одномерном потенциале Морза .
2.6. Написать функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа для частицы массы , движущейся в поле тяжести на гладкой шаровой поверхности радиуса R (сферический маятник).
2.7. Грузик массы , привязанный к концу нерастяжимой невесомой нити длины l, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Найти положение равновесия по углу отклонения нити от вертикали .
2.8. Составьте функцию Лагранжа и напишите уравнение Лагранжа для системы двух материальных точек с массами , соединенных пружинами между собой и с неподвижными стенками, движущихся вдоль горизонтальной прямой (см. рис.2.6.). Все три пружины имеют одинаковую жесткость  и одинаковую длину в недеформированном состоянии . Расстояние между стенками равно . 
                                                           Рис.2.6. Система двух материальных            
                                                            точек, соединенных пружинами

Глава 3. Законы сохранения

При эволюции механической системы во времени некоторые функции обобщённых координат и скоростей могут сохранять постоянные значения. Такие величины называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для системы с s степенями свободы равно 2s–1. Наличие интеграла движения связано с симметрией механической системы по отношению к преобразованиям обобщённых координат и времени, которые оставляют действие (2.1) инвариантным (теорема Нётер). Так, если функция Лагранжа  замкнутой системы не зависит явно от времени, т.е. сдвиг переменной t не изменяет действие (2.1), то остаётся постоянной комбинация  

.				(3.1)

Величина (3.1) называется энергией системы. Если механическая система замкнута или находится в постоянном внешнем поле, то функция Лагранжа определяется выражением (2.3). В этом случае интеграл движения (3.1), определяющий полную энергию системы, равен

	.				(3.2)

Если какая-либо из координат qi не входит в уравнения Лагранжа (2.2), то из этих уравнений следует, что равна нулю полная производная по времени от величины 

,						(3.3)

называемой обобщённым импульсом, отвечающим i-й степени свободы. Такая отсутствующая в функции Лагранжа координата qi называется циклической. Таким образом, если некоторая обобщённая координата qi является циклической, то соответствующий ей обобщённый импульс (3.3) сохраняется во времени, т.е. является интегралом движения. 
	Производные от функции Лагранжа по обобщённым координатам называются обобщёнными силами:

.						(3.4)

С использованием обобщённых импульсов (3.3) и обобщённых сил (3.4) уравнения Лагранжа (2.2) принимают вид уравнений Ньютона
.						(3.5)

Рассмотрим пример нахождения интегралов движения. Если частица находится в потенциальном поле, зависящим только от одной координаты, например, U=U(z), то в функцию Лагранжа не входят явно координаты x и y. В этом случае помимо энергии (3.2) согласно (3.4), (3.5) сохраняются обобщённые импульсы px и py. Кроме того, при записи функции Лагранжа такой системы в цилиндрических координатах в неё не будет входить явно полярный угол φ. Соответствующий ему обобщённый импульс (3.3) представляет собой компоненту момента импульса Mz, которая также является интегралом движения.
Предположим, что система совершает финитное движение, т.е. движение в ограниченной области пространства, и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Пусть потенциальная энергия такой системы является однородной функцией k-й степени от всех радиус-векторов составляющих систему материальных точек. В этом случае средние значения по большому (в пределе бесконечному) интервалу времени для кинетической энергии и потенциальной энергии удовлетворяют соотношению

,						(3.6)

называемому теоремой вириала. Так, для малых колебаний при квадратичной зависимости потенциальной энергии от обобщённых координат степень k=2, откуда с помощью (3.6) получаем, что , т.е. средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы. 

Пример 3.1
Какие компоненты импульса и момента импульса сохраняются при движении в потенциальном поле [1]:
а) с симметрией бесконечного однородного цилиндра с осью вдоль Oz;
б) двух точечных источников потенциального поля.

Решение. а) В поле с цилиндрической симметрией в функцию Лагранжа не входят явно полярный угол φ в плоскости, перпендикулярной Oz, и координата z вдоль оси цилиндра. Соответствующие им обобщённые импульсы (3.3) являются интегралами движения, т.е. pφ=Mz, представляющий собой z-компоненту момента импульса, и декартова компонента импульса pz, направленная вдоль оси цилиндра.
б) Если направить ось Oz вдоль прямой, соединяющей два точечных источника поля, то система будет обладать симметрией, оставляющей поле инвариантным при поворотах вокруг оси Oz. Это означает, что отвечающий такому повороту полярный угол φ в плоскости, перпендикулярной Oz, не входит в функцию Лагранжа, т.е. является циклической координатой. Ему отвечает интеграл движения pφ=Mz, представляющий собой z-компоненту момента импульса.

Пример 3.2.
Частица с массой m, движущаяся со скоростью v1, переходит из полупространства, в котором её потенциальная энергия постоянная и равна U1, в полупространство, где её потенциальная энергия также постоянна и равна U2. Определить изменения направления движения частицы. [1] 

Решение. Обозначим направление, перпендикулярное границе раздела полупространства, как Ox.  В данном случае потенциальная энергия и вся функция Лагранжа не зависит от декартовых координат (y,z), поэтому отвечающие им компоненты импульса (py , pz) сохраняются. Если обозначить через θ1 и θ2 углы между осью Ox и скоростями v1 и v2, в первом и втором полупространстве соответственно, то для сохранения поперечных компонент импульса  (py , pz) нам потребуется выполнение равенства
 
|v1| sin θ1 = |v2| sin θ2.				(3.7)

Связь между модулем скорости в первом и втором полупространстве даётся законом сохранения энергии . Выразив отсюда отношение |v2|/|v1| и подставив в (3.7), мы найдём отношение синусов угла падения частицы и угла вылета во второе полупространство:

.

Пример 3.3.
Как выглядит теорема вириала для частицы, находящейся в поле тяготения с потенциальной  энергией ? [1]

Решение. Для данного вида потенциальной энергии показатель степени функции U(q) k=–1. Согласно теореме вириала (3.6) для средних значений кинетической и потенциальной энергии справедливо равенство , а полная энергия  удовлетворяет условию . Последнее равенство означает, что условие применения теоремы вириала, т.е. финитное движение в поле тяжести, возможно лишь при отрицательной полной энергии частицы. Более подробно задача о движении в поле тяготения будет рассмотрена ниже в главе 5.

Пример 3.4.
Как изменяются времена движения частицы по одинаковым траекториям при изменении потенциальной энергии на постоянный множитель α, т.е. при U’/U=α? [1]

Решение. В силу линейности уравнения Лагранжа (2.2) не изменяются, и траектория движения остаётся прежней, если функция Лагранжа одной частицы  умножается на некоторый постоянный множитель. Нам известно, что потенциальная энергия умножается на множитель α, т.е. U→αU. Если мы рассмотрим преобразование времени вида t’=βt, где β есть подлежащий определению множитель, то скорость преобразуется по закону . После подстановки преобразованной потенциальной энергии и скорости в функцию Лагранжа мы получим её новый вид:  . Видно, что для выполнения закона преобразования L→αL, постоянная β должна удовлетворять условию . При этом время движения по траектории изменится как , или .

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Найти интегралы движения для частицы в однородном магнитном поле , направленном по оси , если  векторный потенциал задан в виде: а) ; б) .
3.2. Какие компоненты импульса и момента импульса сохраняются при движении в следующих полях:
        а) поле бесконечной однородной плоскости ;
        б) поле бесконечной однородной призмы с ребрами, параллельной оси ;
        в) поле бесконечной однородной полуплоскости (часть плоскости , ограниченная осью );
        г) поле однородного конуса (ось конуса – ось );
        д) поле однородного кругового тора (ось тора – ось );
        е) поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии.
3.3. Какие компоненты момента импульса частицы сохраняются при 
        движении в поле , где a  – некий постоянный вектор?
3.4. Методом механического подобия определить отношение периодов 
       обращения точечных зарядов ,  с массами , , движущихся по 
       подобным траекториям в поле неподвижного заряда .
3.5. Как относятся времена движения по одинаковым траекториям  
       материальных точек с различными массами при одинаковой 
       потенциальной энергии?
3.6. Как изменяются времена движения частицы по одинаковым траекториям 
       при изменении энергии на постоянный множитель?

Глава 4. Одномерное движение

Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы. Пусть материальная точка с массой m совершает движение вдоль направления Ox по некоторому закону x(t). Её кинетическая энергия может быть записана как , а потенциальная энергия определяется известной функцией U(x). Такие системы называются автономными. Функция Лагранжа (2.3) автономных систем для одномерного движения имеет вид

.					(4.1)

Полная энергия системы E является интегралом движения и сохраняется во времени,
.						(4.2)

Из условия постоянства энергии (4.2) можно получить закон движения x(t) в квадратурах, т.е. в виде интеграла, связывающего переменные x и t:

.				(4.3)

Двумя постоянными, определяющими частное решение (4.3) уравнения Лагранжа, являются энергия E и постоянная интегрирования C. Поскольку кинетическая энергия T является существенно положительной величиной, из (4.3) видно, что движение может происходить только в тех областях пространства, где выполнено условие

U(x) < E.						(4.4)

Точки, в которых выполняется условие U(x) = E, называются точками остановки, поскольку в них обращается в нуль скорость . Так, на рис.4.1 показан потенциал U(x), в котором при данном значении энергии E имеется три точки остановки x1,2,3(E). Движение возможно либо между точками x1(E) и x2(E), либо справа от точки x3(E). Финитное движение между первыми двумя точками характеризуется периодом движения T(E), который с помощью (4.3) находится в виде интеграла

.				(4.5)

Рис.4.1. Потенциальная энергия U(x) и области одномерного движения

Пример 4.1.
Определить период колебаний T(E) плоского математического маятника, представляющего собой материальную точку массой m на конце нерастяжимой нити длины l, совершающего колебания произвольной амплитуды в поле тяжести [1].

Решение. Полная энергия системы может быть выражена через угол отклонения маятника от вертикали φ(t) следующим образом:

.					(4.6)
Если в качестве начального условия задан максимальный угол отклонения маятника φ0, при котором угловая скорость  обращается в нуль, то энергию (4.6) можно выразить через φ0 как

.						(4.7)

С помощью (4.6), (4.7) период колебаний маятника (4.5) записывается в виде квадратуры как умноженное на четыре время прохождения интервала углов от φ=0 до φ=φ0:

.			(4.8)

После тригонометрических преобразований и введения подстановки  интеграл (4.8) преобразуется к виду

,				(4.9)
где функция 
					(4.10)

есть полный эллиптический интеграл первого рода, свойства которого хорошо известны (см., например, [7]). При малых углах отклонения маятника от вертикали, когда 
,

функция (4.10) раскладывается в степенной ряд по малому параметру φ0, и для периода колебаний (4.9) мы получим разложение

.			(4.11)

Первый член в разложении (4.11) отвечает известной формуле периода малых колебаний линейного осциллятора, который не зависит от амплитуды колебаний φ0. Период (4.9), (4.11) можно выразить и через энергию E, если использовать её связь (4.7) с амплитудой колебаний φ0.

Пример 4.2.
Определить период движения материальной точки массой m в потенциале U(x)=A|x|n, где  есть целое число [1].

Решение. Подставляя потенциальную энергию U(x)=A|x|n в выражение (4.5) для периода колебаний, после введения безразмерной переменной y=Ax/E мы получим следующую квадратуру:

.				(4.12)

Подстановкой yn=u интеграл (4.12) приводится к бета-функции, определяемой через интеграл Эйлера первого рода (см., например, [7]):

.				(4.13)

Интеграл (4.13), в свою очередь, выражается через гамма-функцию  согласно равенству [7]
.					(4.13)

В результате для периода колебаний (4.12) мы получаем представление через гамма-функцию:
.				(4.14)

Для колебаний в параболическим потенциале с показателем n=2 мы получим из (4.14), с учётом значений гамма-функции  и , что период колебаний не зависит от энергии E: 

.						(4.15)

Формула (4.15) представляет собой известный результат для периода колебаний линейного осциллятора  в потенциальном поле U(x)=k x2/2, если подставить сюда значение коэффициента k/2=A.

Задачи для самостоятельного решения

4.1. Найдите частоту колебаний частицы массы  с энергией  в одномерном потенциале .
4.2. Проинтегрировать уравнение движения для частицы, движущейся в одномерном потенциале .
4.3. Проинтегрировать уравнение движения для частицы, движущейся в одномерном потенциале . Найти частоту колебаний. Рассмотреть предельные случаи больших и малых энергий.

Глава 5. Движение в центральном поле и рассеяние

Задача двух тел

Одной из задач механики является так называемая задача двух тел, в которой взаимодействие двух материальных точек с массами m1 и m2 и радиус-векторами r1 и r2 выражается через потенциальную энергию, зависящую только от относительного положения частиц. Соответствующее силовое поле называется центральным. Функция Лагранжа данной системы имеет вид 
.				(5.1)

Вводя радиус-вектор положения частиц относительно друг друга
 
,						(5.2)

и помещая начало координат в центр масс системы, когда выполняется равенство
,					(5.3)

можно выразить радиус-векторы каждой материальной точки через радиус-вектор относительного положения точек (5.2):
.					(5.4)

С помощью (5.2) и (5.4) функция Лагранжа системы двух точек может быть записана как функция Лагранжа одной материальной точки:

,					(5.5)

где введена величина
,					(5.6)

называемая приведённой массой для задачи двух тел. В случае сильно отличающихся масс, например, при  (в качестве примера можно сопоставить первую массу массе планеты и вторую массу массе звезды, вокруг которой обращается планета), приведённая масса (5.6) близка по своему значению к меньшей из двух масс.

Движение в центральном поле

	Поскольку полный момент импульса M=[r,p] замкнутой механической системы наряду с её энергией сохраняется во времени, движение системы с функцией Лагранжа (5.5) происходит всё время в одной плоскости, перпендикулярной M. Вводя в этой плоскости полярные координаты (r,φ), запишем (5.5) в виде

.				(5.7)

В функцию Лагранжа (5.7) не входит явно угловая переменная φ, поэтому соответствующий ей обобщённый импульс pφ, равный проекции момента Mz на ось, перпендикулярную плоскости движения и совпадающей с модулем момента импульса M, является интегралом движения:

.					(5.8)

Также сохраняется полная энергия , которую с учётом (5.8) можно записать в форме

,					(5.9)

где введена эффективная потенциальная энергия

,				       (5.10)

в которой второе слагаемое, учитывающее с помощью (5.8) вклад от угловой переменной, называется центробежной энергией. Формулы (5.9), (5.10) позволяют описывать движение в центральном поле как задачу одномерного движения, рассмотренную в главе 4, с эффективной потенциальной энергией (5.10). Из (5.9) можно получить законы движения в центральном поле, выраженные в форме квадратур, связывающий переменные t, r, φ:

,			(5.11)

.		  (5.12)

Выражение (5.11) определяет в неявной форме зависимость r(t), а формула (5.12) описывает траекторию в форме уравнения f(r,φ)=0.
	Эффективная потенциальная энергия (5.10) позволяет описывать динамику радиальной переменной r(t) так же, как это делается в общем случае одномерного движения. При заданных значениях энергии и момента импульса корни ri уравнения 

					(5.13)

определяют границы движения, поскольку из (5.11) и (5.12) видно, что выражение в левой части (5.13) всегда должно не превышать полной энергии E. Для радиальной переменной в точках, удовлетворяющих (5.13), выполняется условие «остановки» , в то время как угловая переменная φ согласно (5.8) всегда возрастает с течением времени.
	Наличие второго слагаемого в (5.10), пропорционального 1/r2, может приводить как к отталкиванию от центра поля, так и к притяжению к точке r=0, т.е. падению на центр поля, в зависимости от характера потенциала U(r). Падение на центр возможно, если притягивающий потенциал U(r)<0 удовлетворяет неравенству
.				(5.14)

Задача Кеплера

	Важным примером центрального поля является поле тяготения, зависящего от расстояния до центра как

,						(5.15)

где постоянная α>0. Задачу движения в таком поле называют задачей Кеплера. Уравнения движения в этом случае интегрируются в элементарных функциях, и из (5.11), (5.12) можно получить явный вид траектории:

.					(5.16)

Уравнение (5.16) является уравнением конического сечения в полярных координатах, а сама траектория движения в зависимости от эксцентриситета e является эллипсом, параболой или гиперболой (см., например, [8]). Эксцентриситет e и параметр p конического сечения выражаются через интегралы движения и параметры потенциальной энергии (5.10) как

,	.				(5.17)

В случае движения в конечной области, как это видно из зависимости эффективной потенциальной энергии (5.10) от r, полная энергия должна быть отрицательной, E<0. Из (5.17) видно, что в этом случае значение эксцентриситета e<1, т.е. траектория является эллипсом. В случае E=0 эксцентриситет e=1, и траектория является параболой, движение инфинитно. При положительной полной энергии e>1 и траектория является гиперболой, и движение также инфинитно. Падения на центр в задаче Кеплера при ненулевом моменте M не происходит, поскольку условие падения на центр (5.14) не выполняется, т.к. предел в левой части (5.14) равен нулю.
В задаче Кеплера имеется дополнительный интеграл движения, обусловленный видом потенциальной энергии (5.15), и равный

.				(5.18)

Задача рассеяния

	Важным классом задач о движении в центральном поле являются задачи о рассеянии одной частицы на неподвижном центре. Пусть материальная точка с массой m налетает из бесконечности на неподвижный центр рассеяния, с которым она взаимодействует через эффективную потенциальную энергию вида (5.10), где потенциальная энергия U(r) на бесконечности обращается в нуль. Пусть на бесконечности частица имела скорость v∞, а длина отрезка, опущенного из центра поля перпендикулярно направлению первоначальной скорости частицы, равнялась ρ. Эту длину называют прицельным параметром. В этих обозначениях интегралы энергии и момента импульса равны

,	.				(5.19)

Минимальное расстояние rmin, на которое частица подлетает к центру рассеяния, определяется из закона сохранения энергии (5.13). Если в полярной системе координат с центром в источнике поля направление угла φ=0 соответствует направлению на бесконечность, в которой находилась частица в начальный момент времени, то угол φ0, отвечающий минимальному расстоянию, rmin, можно определить из общего выражения (5.12) с учётом (5.19):
.			  (5.20)

Через угол φ0 можно выразить угол рассеяния χ, описывающий итоговое отклонение направления движения частицы после окончания взаимодействия с рассеивающим центром:

.					(5.21)

В задаче рассеяния обычно рассматривается не одна частица, а целый пучок невзаимодействующий между собой частиц, налетающих из бесконечности на неподвижный рассеивающий центр. Рассеяние таких частиц можно описать через эффективное дифференциальное сечение рассеяния, имеющее размерность площади:

,					(5.22)

где n есть число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка, т.е. величина, определяющая интенсивность потока частиц, а dN(χ) есть число частиц, рассеиваемых в единицу времени в интервал углов χ до χ + dχ. Если выразить dN(χ) через прицельный параметр ρ, получив предварительно из (5.20) и (5.21) функцию ρ(χ), то эффективное сечение рассеяния (5.22) можно записать в форме

.		  	    (5.23)

Если выражать сечение рассеяния не через дифференциал плоского угла dχ, а через дифференциал телесного угла dΩ = 2π sin χ dχ, то (5.23) примет вид

.		  	    (5.24)

Для важного случая рассеяния на источнике кулоновского поля U = α / r из выражения (5.24) с учётом (5.20) и (5.21) получаем формулу Резерфорда

.		  	    (5.25)

Пример 5.1.
Исследовать эффективную потенциальную энергию и описать области движения для динамики материальной точки массы m, движущейся по внутренней поверхности конуса с углом раствора 2α, обращённого вершиной вниз, и находящегося в поле тяжести. [1]

Решение. Вводим сферическую систему координат с началом в вершине конуса, и полярной осью, ориентированной вдоль оси симметрии конуса. В этом случае значение полярного угла равно половине угла раствора конуса,   θ = α. Система, таким образом, имеет две степени свободы (r, φ). Записывая кинетическую энергию и потенциальную энергию в поле тяжести в сферической системе координат, получаем функцию Лагранжа:

.			(5.26)

В функцию Лагранжа не входит явно азимутальный угол φ, поэтому соответствующий ему обобщённый импульс, представляющий собой проекцию момента импульса на ось симметрии конуса Оz, является интегралом движения:
.				(5.27)

Выражение (5.27) позволяет выразить угловую скорость  через интеграл движения Mz  и радиальную переменную r. Полная энергия системы с функцией Лагранжа (5.26) с учётом (5.27) имеет вид:

.		(5.28)

Видно, что (5.28) можно представить в форме выражения (5.9) для полной энергии в задаче о движении материальной точки массы m в центральном поле с эффективной потенциальной энергией (5.10), имеющей вид

.		       (5.29)

Зависимость Uэфф от r в (5.29) характеризуется стремлением к бесконечности как при r → 0, так и при r → ∞, между которыми расположен один минимум. Это означает, что при фиксированной полной энергии уравнение Uэфф (r) = E имеет два корня r1,2, отвечающие двум точкам поворота в эквивалентной задаче одномерного движения. В трёхмерной задаче о движении точки по поверхности конуса два значения r1,2 радиальной переменной, отложенные из вершины вдоль поверхности конуса, отвечают двум горизонтальным плоскостям, между которыми располагается траектория движения материальной точки, при движении вдоль которой азимутальный угол φ монотонно возрастает согласно (5.27) при любом ненулевом значении момента импульса Mz.

Пример 5.2.
Описать закон трёхмерного движения материальной точки массы m в центральном поле сферической потенциальной ямы, в которой потенциальная энергия зависит от сферической координаты r, представляющей собой расстояние от центра поля, следующим образом:

,				(5.30)

где постоянные параметры V и R положительны. [2]

Решение. Движение в центральном поле (5.30) можно определить из  выражений (5.9), (5.10). Динамика характеризуется наличием интегралов движения для полной энергии и момента импульса E и M. Эффективная потенциальная энергия (5.10) имеет следующий вид:

.				       (5.31)

График функции (5.31) представляет собой два фрагмента спадающей степенной зависимости 1/r2, сдвинутые друг относительно друга по вертикальной оси на величину V, и испытывающие конечный скачок на V в точке r=R. Движение в зависимости от полной энергии E можно классифицировать на следующие типы:
а) . Движение финитно и возможно в одной области пространства. Значение радиальной переменной r заключено в интервале

, где r1 есть корень уравнения .	(5.32)

Движение происходит внутри сферы r=R с постоянной по модулю скоростью .
б) . Движение возможно в двух областях пространства. В первой области динамика повторяет результат пункта (а), движение является финитным и протекает также внутри сферы, области изменения r заключены в тех же пределах (5.32). Во второй области значение радиальной переменной r > R, движение происходит вне области потенциальной ямы, при этом скорость является постоянной и по направлению, и по величине, равной  . Иначе говоря, частица пролетает мимо потенциальной ямы, не меняя направления и скорости.
в) . Движение является инфинитным, однако частица залетает в область потенциальной ямы, приближаясь к её центру на расстояние r2, меньшее R, и определяемое из условия  . При пересечении границы потенциальной ямы происходит преломление траектории, один раз при входе в область потенциальной ямы при изменении радиальной переменной от r > R  в область r < R, второй раз при  выходе из потенциальной ямы. Скорость по модулю при этом меняется скачком от v2 к v1 и обратно, где скорости v2 и v1 определены в пункте (б).
г) . Движение происходит по окружности r = R точно на границе потенциальной ямы, когда полная энергия минимальна. Обращает на себя внимание то, что при r = R возможно и движение с энергией , отвечающей внешней области пространства по отношению к потенциальной яме, однако такое движение неустойчиво, поскольку отвечает локальному максимуму эффективной потенциальной энергии. При бесконечно малом отклонении траектории в область r < R частица перейдёт внутрь ямы в устойчивое состояние с энергией .

Пример 5.3.
Определить минимальное расстояние rmin, на которое приблизится частица массы m1, налетающая из бесконечности со скоростью v и прицельным параметром ρ на другую частицу массы m2, первоначально покоящуюся, если частицы взаимодействуют через потенциальное силовое поле с потенциальной энергией , где параметр α>0, показатель степени n есть целое положительное число, и r есть расстояние между частицами. [2]

Решение. 
В системе центра масс мы имеем задачу о движении одного тела с массой m, равной приведённой массе (5.6). Интегралами движения являются полная энергия и момент импульса, равные соответственно
 и .				(5.32)

Рассматривая задачу о движении в центральном поле изображающей точки с эффективной массой m, записываем эффективную потенциальную энергию (5.10):

.				       (5.33)

Поскольку параметр α>0, функция (5.33) является монотонно убывающей функцией переменной r, стремящаяся к бесконечности при r → 0 и к нулю при r → ∞. Приравнивая правую часть (5.33) полной энергии E, определённой в (5.32), из уравнения Uэфф(r) = E находим корень r = rmin, который и представляет собой минимальное расстояние, на которое сближаются частицы в процессе взаимодействия.

Пример 5.4.
Определить сечение рассеяния частиц, налетающих из бесконечности параллельным пучком на неподвижную сферу радиуса a, рассеяние на которой является абсолютно упругим. [1]

Решение. Угол падения частиц на сферу φ0, равный углу между траекторией частицы и нормалью к сфере в точке падения, связан с радиусом сферы и прицельным параметром ρ, т.е. длиной перпендикуляра, отложенного из центра сферы на продолжение вектора скорости частицы, соотношением . Выражая этот угол согласно (5.21) через угол рассеяния χ, мы имеем связь
.				(5.34)

Подставляя (5.34) в формулу (5.24) для дифференциального сечения рассеяния, и используя формулу для синуса двойного угла мы находим, что
.			(5.35)

Из (5.35) видно, что дифференциальное сечение  не зависит от угла рассеяния χ, т.е. является изотропным. Полное сечение рассеяния можно получить, проинтегрировав (5.35) по полному телесному углу,
.				(5.36)
Результат (5.36) означает, что полное сечение рассеяния на сфере радиуса a равно площади её поперечного сечения πa2, в которую должны «попадать» налетающие частицы, чтобы рассеяться на этой сфере.

Пример 5.5.
Определить эффективное сечение для «падения» частиц массой m в центр поля , как функцию прицельного параметра ρ и скорости на бесконечности v∞. [1]

Решение. Записываем эффективную потенциальную энергию (5.10):

.				       (5.37)

В (5.37) момент количества движения, как и в примере 5.3, может быть выражен через прицельный параметр и скорость на бесконечности согласно формуле . С учётом этого мы можем преобразовать (5.37) следующим образом:
.				      (5.38)

Из (5.38) видно, что при выполнении неравенства  эффективная потенциальная энергия всюду положительна, и приближение к центру ограничено минимальным расстоянием, определяемым из уравнения Uэфф (r) = E, которое всегда имеет положительный корень. В этом случае падение на центр невозможно. Таким образом, необходимо требовать выполнение неравенства , откуда получаем неравенство для прицельного параметра ρ:
.						(5.39)

Если прицельный параметр удовлетворяет неравенству (5.39), частица падает на центр поля. Таким образом, все частицы из внутренней части круга с радиусом , падают на центр поля. Полное эффективное сечение «падения» в центр равно площади окружности с радиусом ρmax:

.				(5.40)

Физический смысл результата (5.40) прост: эффективное сечение «захвата», или «падения» на центр, пропорционально мощности α притягивающего потенциала, и обратно пропорционально кинетической энергии  налетающих из бесконечности частиц.

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Напишите уравнения Лагранжа для частицы, движущейся в центральном потенциале .
5.2. Найдите область движения частицы в центральном  поле .
5.3. При каких значениях момента импульса возможно финитное движение  
          частицы в поле: а) ; б)   
5.4. Частица массы  движется в центральном поле  (– положительные константы). Опишите возможные типы движения. Для случая  получите уравнение траектории.
5.5. Возможно ли падение частицы на центр поля для случая центрального потенциала  ?
5.6. В плоскости  определите область, отвечающую финитному движению частицы в центральном поле , где .
5.7. Определить область движения двух грузов с массами  и , прикрепленных к различным концам невесомой нерастяжимой нити длины , пропущенной через отверстие в горизонтальной плоскости (см. рис.5.1.). Трения нет. Груз  может двигаться только вдоль вертикали. В начальный момент времени груз с массой  находился на расстоянии  от отверстия и имел скорость , направленную перпендикулярно его радиусу-вектору, проведенному от отверстия.

Рис.5.1. Механическая система из задачи 5.7
5.8. Материальная точка движется в центральном поле . Ее полная механическая энергия равна нулю. Найдите уравнение траектории.
5.9. Определить траекторию частицы в поле . Найти угловое расстояние  между двумя последовательными прохождениями перигелия (точки ), период радиальных колебаний  и период обращения вокруг центра поля . При каком условии траектория будет замкнутой?
5.10.  В системе центра масс определить траектории финитного движения 
         двух частиц, массы которых  и , а закон взаимодействия .
5.11. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса , находящийся в   
         центре поля  .
5.12. Найдите область, недостижимую для пучка частиц, летящих из 
        бесконечности со скоростью  параллельно оси  и рассеиваемых полем  .
5.13. Вычислить дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц,  
         скорость которых до рассеяния параллельная оси , на гладкой упругой  
         поверхности вращения , .
5.14. Пучок частиц, летящих из бесконечности с одинаковыми скоростями  
         и различными прицельными параметрами  против оси , рассеивается 
         на поверхности, представляющей собой параболоид вращения 
         ,   ( – ось вращения). Найдите дифференциальное 
         эффективное сечение рассеяния.
5.15. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле .
5.16. Найти распределение распадных частиц по энергиям в лабораторной 
         системе, если в системе центра масс угловое распределение имеет вид 
         , где  – угол между скоростью V первичной частицы и 
         направлением вылета распадной частицы в системе центра масс. 
         Скорость распадных частиц в системе центра масс .
5.17. Электрон, имевший на бесконечности скорость , налетает на другой 
         электрон, первоначально неподвижный (прицельный параметр ). 
         Найти скорости электронов после рассеяния.
5.18. Шарик, обладающий скоростью , испытывает абсолютно упругий 
         удар о движущуюся со скоростью  плоскость. Найти скорость шарика 
         после удара.

Глава 6. Малые колебания

Колебания систем с одной степенью свободы

Свободные колебания

Если частица с массой m совершает одномерное движение, при котором её потенциальная энергия описывается функцией U(q) обобщённой координаты q, то функция Лагранжа такой частицы имеет вид

.					(6.1)

Если потенциальная энергия имеет в точке  минимум, то при этом выполняются условия
,	.			(6.2)

При малых отклоненияхот положения равновесия функция Лагранжа (6.1) после разложения функции U(q) в ряд по  записывается как
,					(6.3)

а уравнение Лагранжа принимает вид

,					(6.4)

и представляет собой уравнение свободных колебаний линейного осциллятора с частотой колебаний

.						(6.5)

Общее решение уравнения (6.4) имеет вид

,				(6.6)

где постоянные А1 и А2 определяются начальным отклонением и начальной скоростью. Полная механическая энергия колебаний

					(6.7)
остаётся постоянной во времени, то есть сохраняется:

,					(6.8)
где .

Вынужденные колебания

Уравнение для вынужденных колебаний отличается от уравнения (6.4) для свободных колебаний наличием в правой части слагаемого с зависящей от времени внешней силой F(t):
.					(6.9)

Как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см, например, [10–12]), общее решение уравнения (6.9) может быть найдено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (6.4) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (6.9). Если внешняя сила F(t) является периодической функцией времени с частотой Ω, то при совпадении Ω с частотой осциллятора ω будет наблюдаться явление резонанса, выражающееся в линейном росте со временем амплитуды колебаний.
	Общее решение уравнения (6.9) может быть также найдено с помощью следующего представления функции х(t) [1]: 

	,	где 	,		(6.10)
.			(6.11)

Для свободных колебаний с частотой ω, амплитудой А и начальной фазой φ, описываемых выражением вида , функция z(t) из (6.10) является постоянной во времени величиной, и связана с амплитудой и частотой колебаний как
					.					(6.12)

При наличии зависящей от времени внешней силы F(t) полная энергия (6.7) уже не является сохраняющейся величиной и зависит от времени. Будучи выраженной через функцию z(t), энергия записывается как

.					(6.13)

Колебания при наличии силы трения

	Если при движении на частицу действует сила трения вида

,						(6.14)

с параметром , и нет других внешних сил, то уравнение колебаний имеет вид

,				(6.15)
где						
.					(6.16)
Общее решение уравнения (6.15) записывается в форме

,				(6.17)

где постоянные  определяются из начальных условий. Характеристические показатели, которые для малого трения при будут комплексными числами, определяются как

.				(6.18)

Полная энергия (6.7) при наличии трения не сохраняется и убывает со временем:
.					(6.19)

При наличии силы трения (6.14) и внешней силы F(t), зависящей от времени, уравнение колебаний имеет вид

.				(6.20)
Построение решения уравнения (6.20) аналогично решению уравнения (6.9) в отсутствии силы трения, и описано в руководствах по обыкновенным дифференциальным уравнениям (см, например, [10–12]). Если внешняя сила F(t) является периодической функцией времени с частотой Ω, то при совпадении Ω с частотой осциллятора ω вновь будет наблюдаться явление резонанса. При этом, однако, амплитуда колебаний будет ограничена из-за наличия трения.

Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы

	Для системы с n степенями свободы  функция Лагранжа имеет вид
.			(6.21)

Если потенциальная энергия имеет минимум в точке , то аналогично (6.3) в её малой окрестности  функция Лагранжа приводится к виду
,				(6.22)
где и  есть вещественные симметричные матрицы порядка n. Уравнения Лагранжа для смещений  записываются в форме

,	.			(6.23)
Уравнения (6.24) представляют собой систему n линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, теория решения которых изложена в руководствах по обыкновенным дифференциальным уравнениям (см, например, [10–12]). Компоненты вектора  решения системы (6.23) ищутся  в форме частного решения

,					  (6.24)

с подлежащей определению частотой Ω, откуда получается система линейных однородных алгебраических уравнений на коэффициенты :

,		.		(6.25)
Условие существования нетривиального решения системы (6.25) приводит к характеристическому уравнению для ω2:

.			  	    (6.26)

Корни  уравнения (6.26), , определяют собственные частоты колебаний системы. Для каждой собственной частоты  амплитудымогут быть определены из системы уравнений (6.25) по стандартным правилам линейной алгебры (см, например, [9]). Общее решение для  имеет вид

,	,			(6.27)
где
,					(6.28)

а  есть произвольные постоянные. Рассматривая равенства (6.27) как систему линейных уравнений относительно , можно выразить  через и рассматривать  как новые обобщённые координаты системы, называемые нормальными координатами. Каждая нормальная координата  зависит от времени согласно (6.28) как периодическая функция только одной частоты , поэтому  удовлетворяет уравнению линейного осциллятора

.					(6.29)

Это означает, что в координатах  движение распадается на n независимых друг от друга колебаний, называемых нормальными колебаниями. Функция Лагранжа в нормальных координатах имеет вид

,					(6.30)

где  есть положительные коэффициенты, определяемые в процессе нахождения  из системы (6.27). Переход от исходной функции Лагранжа (6.22) к выражению (6.30) в нормальных координатах отвечает одновременному приведению двух квадратичных форм в (6.22) для кинетической и потенциальной энергии с матрицами и  к диагональному виду (более подробно, см., например, [9]).

Пример 6.1.
Найти частоту малых колебаний частицы массой m с одной степенью свободы в потенциальном поле , где . Такая функция отвечает комбинации периодического потенциала  и потенциала однородного электрического поля с амплитудой F. [2]

Решение. Применим условия (6.2) для поиска точки x0 минимума потенциала:
 при , 
откуда 
 .						(6.31)

Видно, что уравнение (6.31) имеет решение при условии

,						(6.32)

то есть когда амплитуда F не слишком велика. Вторая производная от потенциала  в точке x0, определяющая параметр k в частоте колебаний (6.5), равна
.					(6.33)

Квадрат частоты малых колебаний будет равен согласно (6.5)

.			(6.34)

Подставляя в (6.34) значение  из (6.31), мы находим

.					(6.35)

Устойчивое положение равновесия и колебания в его окрестности будут существовать при положительности подкоренного выражения в правой части (6.35), то есть при выполнении условия (6.31).

Пример 6.2.
Найти амплитуду колебаний А, возникающих вследствие воздействия на первоначально покоящуюся частицу массой m прямоугольного импульса силы, равной F0 на интервале времени 0<t<T и равной нулю вне этого интервала. До момента t=0 частица находится в положении устойчивого равновесия, характеризующегося частотой малых колебаний ω [1]. 

Решение. После окончания действия силы частица совершает свободные колебания с амплитудой А, которую необходимо найти. Воспользуемся формулами (6.10) и (6.11) для нахождения закона движения в присутствии силы F(t) через вспомогательную функцию z(t), с начальным условием z(0)=0, и получим:

.		(6.36)

Из выражения (6.12) амплитуда свободных колебаний А может быть найдена как
,					(6.37)
поскольку при t=T действие внешней силы уже закончилось и начались свободные колебания. Подставляя в (6.37) правую часть (6.36) при t=T, после тригонометрических преобразований находим

.

Пример 6.3.
Найти собственные частоты и нормальные колебания системы с двумя степенями свободы x и y, функция Лагранжа которой равна

,			(6.38)
где  и  – известные параметры, причём  [1,2].

Решение. Составим уравнения Лагранжа (6.23) для функции Лагранжа (6.38):
.

Характеристическое уравнение (6.26) для этой системы имеет вид
.

Его корни, определяющие собственные частоты , равны
.			(6.39)

При отсутствии связи между степенями свободы x и y, т.е. при , собственные частоты  в (6.39) будут равны частотам : , и нормальные колебания  с частотами будут происходить вдоль прежних координат x и y. При конечном значении  направления нормальных колебаний изменяются. В нормальных координатах функция Лагранжа будет иметь вид

.				(6.40)

Необходимо найти такое преобразование координат x и y, чтобы исходная функция Лагранжа (6.38) перешла бы в функцию (6.40). Поставленная задача эквивалентна приведению квадратичной формы к сумме квадратов. Как известно из линейной алгебры (см., например, [9]), данная задача может быть решена с помощью ортогонального преобразования, то есть преобразования поворота системы координат  на некоторый угол φ:

.				(6.41)

Отметим, что ортогональное преобразование (6.41) оставляет инвариантной кинетическую энергию, то есть . Для получения равенства между слагаемыми с потенциальной энергией в функциях Лагранжа (6.38) и (6.40) мы подставим выражения (6.41) для x и y в (6.38), и приравняем полученный результат функции (6.40). После тригонометрических преобразований мы получим, что искомое значение угла поворота φ определяется следующим выражением:

.					(6.42)

Из (6.42) и (6.41) следует, что если связь степеней свободы x и y в (6.38) слабая, т.е. , то нормальные колебания локализованы вдоль прежних координат x и y, т.е.  и  (при ) или  и  (при ). При этом согласно (6.39) собственные частоты . 
Если же параметры системы таковы, что частоты  и  близки между собой, т.е. выполняется обратное неравенство , то нормальные колебания происходят вдоль направлений осей, повёрнутых на  относительно исходных, т.е.  и . В этом случае согласно (6.39) в пределе  собственные частоты , т.е. частоты двух степеней свободы расщепляются на величину 2α, пропорциональную амплитуде их взаимодействия. 

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Найдите положения равновесия материальной точки с массой m, 
       находящейся в поле , и исследуйте их на устойчивость.
6.2. Найти положения равновесия материальной точки с массой m,  
       находящейся в поле , и исследовать их на 
       устойчивость.
6.3. Найти положения равновесия материальной точки с массой m, 
       находящейся в поле , и исследовать их 
       на устойчивость.
6.4. Найдите частоту малых колебаний частицы в поле .
6.5. Найти закон движения одномерного осциллятора с собственной частотой  под действием внешней гармонической силы . В начальный момент времени осциллятор покоился и имел координату . Отдельно рассмотреть случай .
6.6. Груз массы  подвешен на пружинке жесткости , которая, в свою очередь, крепится к пружинке жесткости . Найти период малых вертикальных колебаний груза.
6.7. Найдите частоту малых колебаний точечного грузика массы , 
       движущегося только горизонтально, если 
       коэффициенты жесткости пружин  и , их 
       длины в недеформированном состоянии  и  
       соответственно,  (см. рис.6.1.).
     Рис.6.1. Колебательная система

6.8. Определите собственные частоты малых колебаний плоского двойного маятника. Массы грузов равны , длины нерастяжимых нитей .
6.9. Точки подвеса двух математических маятников одинаковой массы  и одинаковой длины  находятся на одном уровне на расстоянии  друг от друга. Массы соединены пружиной жесткости , длина которой в недеформированном состоянии равна . Найти частоты малых колебаний системы, а также нормальные координаты.
6.10. Определите энергию, которую приобретет осциллятор с собственной 
         частотой  под действием силы  за все время ее 
         действия. При  осциллятор покоился.

Глава 7. Динамика твёрдого тела

	В механике твёрдое тело понимают как совокупность дискретно или непрерывно распределённых в пространстве точек, расстояния между которыми остаются неизменными. Твёрдое тело представляет собой систему с шестью степенями свободы, три из которых отвечают поступательному движению центра масс, и три описывают вращение относительно центра масс. Среди различных систем координат, в которых можно описывать динамику твёрдого тела, наиболее удобной является система центра инерции, начало которой находится в центре инерции (центре масс) тела, координаты которого  (k=x,y,z) могут быть найдены как

.					(7.1)

В системе координат, связанной с центром инерции, для радиус-векторов  масс , составляющих твёрдое тело, выполняется равенство
.					(7.2)

Если у тела имеется плоскость симметрии или ось симметрии, то центр инерции лежит в этой плоскости или на этой оси. Скорость  любой точки тела  относительно неподвижной системы координат может быть выражена через поступательную скорость  центра инерции и угловую скорость  вращения тела вокруг центра инерции как целого с помощью равенства

.					(7.3)

Угловая скорость вращения  вокруг оси одинакова для всех параллельных осей. Кинетическая энергия Т движения твёрдого тела может быть представлена как сумма энергии поступательного движения центра инерции со скоростью и энергии вращения вокруг центра инерции с угловой скоростью :

,				(7.4)
где есть полная масса тела, а величины  являются компонентами тензора инерции, т.е. матричной величины, и могут быть вычислены в системе центра инерции по правилу

.				(7.5)

Поскольку тензор инерции симметричен, , то всегда может быть выбрана новая декартова прямоугольная система координат, ориентированная вдоль собственных векторов матрицы (7.5), называемая системой главных осей инерции, в которой эта матрица является диагональной: 
.						(7.6)

Здесь положительные величины , являющиеся собственными значениями матрицы (7.5), называются главными моментами инерции. Каждый из трёх главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других.               В системе главных осей инерции второе слагаемое в кинетической энергии (7.4), описывающее вращение твёрдого тела, имеет вид суммы квадратов:

.				(7.7)

Твёрдое тело, у которого все три главных момента инерции различны, , называется асимметричным волчком. Тело, у которого два момента инерции равны, например, , называется симметричным волчком. Для него выбор перпендикулярных главных осей в плоскости координат (x1, x2) произволен, а третья главная ось перпендикулярна плоскости (x1, x2). Тело, у которого все три главных момента инерции равны, , называется шаровым волчком, и для него выбор трёх перпендикулярных главных осей, проходящих через центр инерции, является произвольным. 
Тело, состоящее из масс , расположенных вдоль одной прямой, например, вдоль оси  x3, называется линейным ротатором. Для него главный момент  инерции  , а два других момента инерции равны, .
Для тела, состоящего из масс , расположенных в одной плоскости, например, в плоскости (x1, x2), две главные оси инерции расположены в этой плоскости, а третья главная ось инерции перпендикулярна плоскости, причём

,	,	,		(7.8)
 
то есть в этом случае выполняется равенство .
	Компоненты тензора инерции  в другой системе координат, начало которой отстоит на радиус-вектор , могут быть найдены по теореме Гюйгенса-Штейнера как

.				(7.9)

Момент импульса  твёрдого тела может быть выражен через компоненты тензора инерции и вектора угловой скорости как

.					(7.10)
Если вращение твёрдого тела описывается в главных осях инерции, то компоненты вектора момента импульса определяются как

,	,	,			(7.11)

то есть в общем случае направления векторов момента импульса и угловой скорости различны. Если же тело является шаровым волчком, все три главных момента инерции одинаковы и равны I, то момент импульса направлен вдоль вектора угловой скорости, .

Пример 7.1.
Определить главные моменты инерции для плоской молекулы из трёх атомов, имеющей форму равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h. Два атома массой m1 каждый находятся в основании равнобедренного треугольника, а третий атом с массой m2 находится в вершине треугольника [1].

Решение. Молекула имеет плоскость симметрии и ось симметрии, проходящие через вершину треугольника вдоль его высоты. Центр инерции находится на этой оси, которую мы обозначим как Оx2. Остаётся лишь определить координату x02 центра инерции на этой оси, отсчитываемую от основания треугольника. Если начало координат поместить в центр инерции, то координаты x2 атомов в основании треугольника будут равны –x02, а координата атома в вершине будет равна  h–x02.  Для нахождения x02 воспользуемся определением (7.2) центра инерции, которое в проекции на ось Оx2 для масс атомов, составляющих молекулу, примет вид

,

откуда , где  есть полная масса атомов в молекуле. С учётом этого результата в системе центра инерции координаты атомов в основании треугольника будут равны , а координаты атома в вершине будут равны .  Определяя моменты инерции согласно формулам (7.8) для плоского тела, мы находим

,
,	.

Пример 7.2.
Найти главные оси и главные моменты инерции для тонкого стержня массы М и длины L, плотность которого является линейной функцией расстояния от одного из концов,  [3].

Решение. Данная система является линейным ротатором, главный момент инерции относительно оси Oz , а оставшиеся два главных момента инерции одинаковы. Вычислим их вначале относительно исходной системы координат, начало которой находится в левом конце стержня, а ось Oz направлена вдоль стержня. Мы получим, что
.
Найдём теперь положение центра масс z0. Согласно (7.1) имеем
.
Для вычисления главных моментов  относительно центра масс воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера (7.9), в которой вектор . В результате получим, что
,	.

Пример 7.3.
Найти частоту малых колебаний в поле тяжести для диска радиуса R и массы m, который: 
а) свободно вращается вокруг точки подвеса на нижней точке шарнира длины L, который может вращаться вокруг своей верхней точки подвеса;
б) жёстко закреплён на нижней точке шарнира длины L, который может вращаться вокруг своей верхней точки подвеса (физический маятник) [3].

Решение. 
(а) Система имеет две степени свободы, определяемые углами  поворота диска вокруг оси, проходящей через свою точку подвеса в нижней точке шарнира, и поворота шарнира вокруг оси, проходящей через его верхнюю точку подвеса. Кинетическая энергия вращения есть сумма энергии вращения центра масс диска по окружности радиуса L и энергии вращения диска вокруг своей точки подвеса,
,				(7.12)
где  есть момент инерции диска радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Потенциальная энергия диска в поле тяжести записывается для его центра инерции, то есть как для точечной массы m, совершающей колебания на подвесе длины L, 
.					(7.13)

Уравнения Лагранжа для функции Лагранжа  с определёнными в (7.12) и (7.13) кинетической и потенциальной энергией имеют вид:

,				(7.14)

где . Первое уравнение системы (7.14) описывает колебания центра инерции диска, т.е. нижней точки шарнира, в рамках модели математического маятника с частотой малых колебаний ω. Второе уравнение описывает постоянство угловой скорости вращения диска  вокруг своей точки подвеса на шарнире. Таким образом, картина движения выглядит следующим образом: диск колеблется на шарнире как целое согласно уравнению математического маятника, и вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью, определяемой начальным условием.
	(б) В случае жёстко закреплённого диска система имеет одну степень свободы, и представляет собой модель физического маятника, то есть тела конечных размеров, совершающего колебания в поле тяжести вокруг оси, проходящей через точку подвеса. Диск движется как целое, т.е. совершает вращение как точечная масса, закреплённая на шарнире, и при этом также вращается вокруг своей оси. Поскольку угловая скорость вращения вокруг двух параллельных осей одинакова, угловая скорость вращения диска вокруг оси, проходящей через точку подвеса, равна угловой скорости вращения шарнира, т.е. . Тогда кинетическая энергия системы вновь будет определяться выражением (7.12), в котором теперь надо подставить , в результате чего
,			(7.15)

где  есть момент инерции диска. Потенциальная энергия системы по-прежнему определяется выражением (7.13). Уравнение Лагранжа для степени свободы  с кинетической энергией (7.15) и потенциальной энергией (7.13) аналогично первому уравнению системы (7.14) примет вид уравнения математического маятника
,

в котором частота малых колебаний теперь будет определяться выражением

.

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Определить главные центральные моменты инерции и направления главных осей тонкого однородного стержня длиной  и массой , согнутого точно посередине под углом . При каком  система будет являться симметрическим волчком?
7.2. Из образца массы  сделали тонкую прямоугольную пластинку со сторонами  и . Вычислить ее главные моменты инерции и найти главные оси, если в системе координат с осями, параллельными сторонам пластинки и началом в вершине прямоугольника плотность задана функцией: .
7.3. Вычислите тензор инерции для плоской молекулы из трёх атомов массой   каждый, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной .
7.4. Найти главные оси и главные моменты инерции системы материальных точек m, m и 2m, находящихся в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой   (масса 2m находится в вершине прямого угла).
7.5. Сплошной однородный цилиндр массы m и радиуса R совершает малые колебания под действием двух прикрепленных к нему одинаковых пружинок, как показано на рис.7.1. Жёсткость каждой пружинки k. Найти частоту малых колебаний цилиндра в отсутствие проскальзывания.
                                                               Рис.7.1. Сплошной однородный цилиндр

7.6. Однородная пластинка в форме равностороннего треугольника со 
       стороной  подвешена на шарнире за одну из своих вершин и совершает 
       малые незатухающие колебания в поле силы тяжести в вертикальной 
       плоскости, совпадающей с плоскостью пластинки. Найдите частоту этих 
       колебаний.
7.7. Найдите частоту малых колебаний однородного полушара, 
       находящегося: а) на гладкой горизонтальной поверхности; б) на 
       абсолютно шероховатой поверхности.
7.8. Найти частоту малых колебаний однородного шарика радиуса , катящегося без проскальзывания по внутренней поверхности цилиндрического желоба радиуса R. 

Глава 8. Уравнения Гамильтона

	При описании движения с помощью функции Лагранжа независимыми переменными были обобщённые координаты и скорости. В качестве независимых переменных для системы с s степенями свободы можно выбрать и другую систему независимых переменных – обобщённые координаты  и обобщённые импульсы . При этом динамика будет описываться с помощью функции Гамильтона H(p, q, t), которая связана с функцией Лагранжа  следующим образом:

.				(8.1)
Функция Гамильтона в большинстве задач имеет смысл полной энергии системы, выраженной через обобщённые координаты и импульсы, H=T+U. Уравнения движения, записанные через функцию Гамильтона, носят название уравнений Гамильтона, или канонических уравнений:

,		i=1,…,s. 			(8.2)

Обобщённые координаты и импульсы называются канонически сопряжёнными переменными. Полная производная по времени от функции Гамильтона равна её частной производной:

.						(8.3)

Если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то есть , то согласно (8.3)  и H является интегралом движения. В этом случае полная механическая энергия системы E=T+U сохраняется.
	Изменение во времени некоторой функции , зависящей от обобщённых координат и импульсов, может быть описано через полную производную функции f по времени в следующей форме:

,					(8.4)

где через  обозначена так называемая скобка Пуассона функций H и  f (в квантовой механике ей отвечает коммутатор операторов H и  f), которая для произвольной пары функций  и  определена как

.			(8.5)

Если функция f не зависит от времени явно, и её скобка Пуассона (8.5) с функцией Гамильтона равна нулю, то согласно (8.4) , то есть в этом случае f является интегралом движения. Справедлива теорема Пуассона: если f и g – два интеграла движения, то новая функция  также будет интегралом движения. Скобка Пуассона (8.5) обладает также следующими свойствами:

,						(8.6)
,				(8.7)
,						(8.8)
,						(8.8)
,	 , .		(8.9)

Для любых трёх функций f, g, h справедливо тождество Якоби

.		(8.10)

	Возможен переход от переменных  к некоторым новым канонически сопряжённым переменным , в которых уравнения движения имеют канонический вид (8.2) с новой функцией Гамильтона H1. Такое преобразование переменных называется каноническим. Для его осуществления должна быть задана некоторая функция , называемая производящей функцией. С её помощью может быть установлена связь между  и , а также между H  и H1:

,	,	.		(8.11)
	
Изображение движения механической системы траекториями в пространстве из обобщённых координат и импульсов называется изображением траектории в фазовом пространстве системы. При движении системы, подчиняющейся уравнениям Гамильтона (8.2), от момента времени t1 до момента времени t2 остаётся постоянным фазовый объём, взятый по некоторой области параметров в фазовом пространстве в начальный момент t=t1:
,					(8.12)

что составляет содержание теоремы механики, называемой теоремой Лиувилля.
	Если у механической системы, совершающей финитное движение с периодом T, какой-либо из описывающих её параметров λ медленно изменяется во времени, подчиняясь условию , то полная энергия системы не сохраняется. Однако при этом существует функция энергии и параметра λ, которая сохраняется во времени с высокой точностью. Такая функция называется адиабатическим инвариантом. Так, для частицы, совершающей одномерное финитное движение в некотором потенциале с медленно изменяющимися параметрами адиабатическим инвариантом I будет площадь, ограниченная на фазовой плоскости (p,q) замкнутой траекторией движения:
.					(8.13)

Например, для линейного гармонического осциллятора с частотой ω и полной энергией Е при плавном изменении ω адиабатическим инвариантом (8.13) будет комбинация .

Пример 8.1.
Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого 
, 				(8.14)
где ω, α, β – известные параметры [2].

Решение. Функцию Гамильтона находим согласно определению (8.1), где для импульса р может быть использовано его выражение через функцию Лагранжа по формуле
.						(8.15)
При составлении функции Гамильтона нашей задачей является выразить скорость через импульс р. Из (8.15) находим для данной в условии функции Лагранжа, что , и
.					(8.16)
Подставляя (8.14) в (8.1), где скорость выражена через импульс согласно (8.16), после алгебраических преобразований получаем функцию Гамильтона

.				(8.17)

В случае малой ангармонической добавки ,  разложением в ряд из (8.17) можно получить, что с точностью до линейных по α и β слагаемых
.			(8.18)

Первые два слагаемых в (8.18) отвечают функции Гамильтона гармонического осциллятора, а остальные слагаемые с точностью до членов, линейных по α и β, равны , где - выраженная через р и q ангармоническая добавка к функции Лагранжа гармонического осциллятора, то есть второе и третье слагаемое в функции Лагранжа (8.14).

Пример 8.2.
Вычислить скобки Пуассона для:
(а) попарно различных компонент вектора момента импульса ;
(б) компонент импульса и момента импульса [1].

Решение. (а) Записывая компоненты момента импульса в декартовой системе координат как , , , и вычисляя скобки Пуассона согласно определению (8.5) в обозначениях  , , , находим, что
,	,	.
(б) Используя равенства (8.8) и (8.9), находим, что
.
Аналогично вычисляются остальные скобки Пуассона. Приведём некоторые из них:
,	.
Остальные комбинации могут быть получены из приведённых формул циклической перестановкой индексов.

Пример 8.3.
Найти закон движения x(t), p(t) для частицы, функция Гамильтона которой равна
,				(8.19)

где ω и λ – постоянные параметры [2].

Решение. Функцию Гамильтона (8.19), как это видно из её структуры, можно представить в следующей форме:

,				(8.20)
где функция
					(8.21)

представляет собой функцию Гамильтона для гармонического осциллятора. Поскольку в исходной функции Гамильтона (8.19), (8.20) нет явной зависимости от времени, то значение Н в процессе движения частицы остаётся постоянной, и равно полной механической энергии частицы Е. Если левая часть в (8.20) равна постоянному значению Е, то постоянна во времени и правая часть (8.20). Это означает, что постоянно во времени и значение функции Н0 в правой части (8.20), которое мы обозначим через Е0:

.					(8.22)

По своему физическому смыслу постоянная Е0 равна энергии гармонического осциллятора с той же частотой ω, что и функции Н. Из (8.22) мы получаем полезные для последующих вычислений равенства:

,	.					(8.23)

	Записывая уравнения Гамильтона (8.2) с функцией Гамильтона (8.19), мы получаем систему двух следующих уравнений:

.				(8.24)

Поскольку  есть постоянная во времени величина, и учитывая равенства (8.23), можно переписать систему уравнений (8.24) в виде

.				(8.25)

Дифференцируя по времени первое из уравнений системы (8.25), и подставляя для  её значение из правой части второго уравнения этой системы, мы получаем уравнение движения частицы в виде

.				(8.26)

Уравнение (8.26) является уравнением движения гармонического осциллятора с частотой Ω, для которой из (8.26) следует, что

.						(8.27)

Решением уравнения (8.26) являются гармонические колебания с частотой Ω, некоторой амплитудой А и начальной фазой φ:

.					(8.28)

Зависимость скорости  от времени, полученная из (8.28), имеет вид . Если выразить  через импульс согласно первому уравнению из системы (8.25), то мы получим, что

,				(8.29)

или, принимая во внимание (8.27),

,					(8.30)

Выражения (8.28) и (8.30) также позволяют выразить значение параметра Е0 из (8.22), остающегося постоянным во времени, через амплитуду колебаний А:
,

то есть		
.						(8.31)

Формулы (8.28), (8.30), (8.27) и (8.31) полностью определяют закон движения частицы с гамильтонианом (8.19). 

Задачи для самостоятельного решения

8.1. Написать уравнения Лагранжа для частицы, функция Гамильтона 
       которой имеет вид .
8.2. Написать уравнения Гамильтона для частицы, функция Лагранжа 
       которой имеет вид .
8.3. Найти функцию Лагранжа системы, функция Гамильтона которой 
       .
8.4. Найти функцию Гамильтона системы, функция Лагранжа которой 
       .
8.5. Найдите функцию Лагранжа, если функция Гамильтона системы имеет вид , где a - постоянный вектор.
8.6. Частица массы  движется по параболическому желобу, 
        расположенному в вертикальной плоскости, в поле силы тяжести. 
        Используя функцию Гамильтона, напишите канонические уравнения 
        движения.
8.7. С помощью скобок Пуассона показать, что функция  является интегралом движения свободной частицы.

Глава 9. Специальная теория относительности

Релятивистская кинематика

	Рассмотрим движение в двух инерциальных системах отсчёта К и К’, одна из которых (К) покоится относительно наблюдателя, а вторая (К’) движется равномерно и прямолинейно со скоростью 

V=(V, 0, 0), 						(9.1)

направление который мы выберем в качестве общего направления осей Ох и Ох’ в этих системах отсчёта. Пусть в каждой системе отсчёта происходят два события, характеризующиеся набором пространственных координат и времени, то есть четвёркой	 чисел (x1, y1, z1, t1) (событие 1) и (x2, y2, z2, t2) (событие 2) в системе К, и ,  в системе К’. При переходе из одной системы отсчёта в другую должна оставаться инвариантной комбинация этих переменных, называемая  интервалом s, квадрат которого определяется как

,		(9.2)

где с есть скорость света, одинаковая во всех инерциальных системах отсчёта. Требование специальной теории относительности состоит в том, что значение интервала s=s’. Преобразования координат, удовлетворяющие этому требованию, называются преобразованиями Лоренца. Для скорости (9.1) относительного движения двух систем отсчёта они имеют следующий вид:
,    ,   ,    .			(9.3)

Формулы обратного перехода от К’ к системе К можно получить из (9.3) заменой V на –V. При скорости, малой по сравнению со скоростью света, т.е. при  (или ), преобразования Лоренца (9.3) переходят в нерелятивистские преобразования Галилея.
	Преобразования (9.3) приводят к релятивистским эффектам сокращения длины объекта и замедления времени в несобственной (движущейся относительно объекта) системе координат К’:
,	.		(9.4)

Разности координат и моментов времени в (9.4) в системе координат К’ меньше, чем в неподвижной относительно наблюдателя системе К. Также из преобразований (9.3) можно получить формулы для преобразования скорости:
,	,	  .		(9.5)

В нерелятивистском пределе  (или ) формулы (9.5) вновь переходят в преобразования Галилея.
Для выражения компонент скорости  в подвижной системе координат через компоненты  в неподвижной системе необходимо в формулах (9.5) поменять местами  и , и заменить скорость V на –V:
,	,	   .		(9.6)

Релятивистская динамика
	
	Компоненты импульса  и энергия Е частицы в релятивистской механике объединяются в единый 4-вектор , компоненты которого под действием преобразований Лоренца (9.3) преобразуются следующим образом:

,	,	,	.	(9.7)

Энергия и импульс частицы массой m, движущейся со скоростью v, в релятивистской механике могут быть записаны в виде

						(9.8)
и
,						(9.9)
где множитель 
						(9.10)

согласно (9.4) определяет связь между временем t в неподвижной (лабораторной) системе отсчёта и так называемым собственным временем τ в системе отсчёта, движущейся вместе с частицей. Согласно (9.10) всегда , то есть в движущейся системе отсчёта время замедляется. В нерелятивистском пределе  (или ) множитель . Исключая γ из формул (9.8), (9.9) связь между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы может быть записана в виде

.						(9.11)

Уравнение движения частицы в присутствии внешней силы F имеет обычный вид
,						(9.12)

однако теперь под импульсом надо понимать релятивистское выражение (9.9) . Уравнение для изменения энергии (9.8) можно записать в форме

.					(9.12)

Из формул (9.8) – (9.10) можно получить связь между энергией и импульсом частицы в виде
.				(9.13)

При малых скоростях  из (9.8) – (9.10) и (9.13) получаются обычные нерелятивистские зависимости энергии и импульса от скорости или энергии от импульса. 
Выраженная через импульс, энергия (9.13) называется функцией Гамильтона Н. Если частица с зарядом е находится в электромагнитном поле с электрической компонентой Е и магнитной компонентой Н, описывающимся векторным потенциалом А и скалярным потенциалом φ, то её функция Гамильтона имеет вид

,			(9.14)
где  есть обобщённый импульс. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле имеют вид

	.				(9.15)

Сила, стоящая в правой части уравнения (9.15), называется силой Лоренца.

Пример 9.1.
Два электрона летят навстречу друг другу, и проекции их скоростей на направление соединяющей их прямой в лабораторной системе отсчёта К равны следующим значениям:  и . 
(а) Какова скорость движения электронов друг относительно друга в лабораторной системе К?
(б) Какова скорость движения электронов друг относительно друга в движущейся системе К’, связанной с одним из электронов? [6]

Решение. (а) Вопрос поставлен некорректно, поскольку понятие скорости движения одного электрона относительно другого имеет смысл лишь в системе отсчёта, связанной с одним из электронов.
(б) Пусть система отсчёта K’ связана с первым электроном. Скорость движения этой системы отсчёта относительной лабораторной системы есть . Тогда скорость второго электрона в системе K’ может быть найдена по первой из формул (9.6), поскольку всё движение в задаче происходит вдоль направления Ox. Скорость  при  и  оказывается равной

Таким образом, по модулю скорость относительного сближения электронов всё равно оказывается меньше скорости света.

Пример 9.2.
Определить траекторию движения  x=x(y) в плоскости (xy) для частицы с массой m и электрическим зарядом e, движущуюся в постоянном и однородном электрическом поле, направленном вдоль оси Ox, E=(E, 0). Начальный импульс частицы направлен по оси Oy, p(0)=(0, p0) [13].

Решение. Уравнение движения (9.12) в проекции на оси Ox, Oy имеет вид

,
и его решение с данными в задаче начальными условиями есть
.					(9.16)
Нам необходимо перейти от выражений для компонент импульсов к выражениям для компонент скорости. Эту связь можно получить при помощи выражения (9.11), в которое входит энергия . Энергию частицы как функцию импульса мы берём согласно (9.13), куда подставляем найденную зависимость (9.16) для компонент импульса, и вычисляем . В результате для зависимости энергии от времени получим выражение

,		(9.17)

где  есть начальное значение кинетической энергии. Далее мы используем равенство (9.11), которое можно переписать в виде . Подставим сюда результат (9.16) для компонент импульса и (9.17) для энергии. В результате мы находим компоненты вектора скорости, определяющие траекторию движения, поскольку :

.				(9.18)

Система уравнений (9.18) определяет траекторию движения частицы. Она представляет собой систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Интегрируя эти уравнения, мы получаем закон движения частицы в форме

.				(9.19)

Исключим время из системы (9.19), например, выразив t из второго уравнения и подставив его в первое. В результате получим искомое уравнение траектории движения частицы в виде

.					(9.20)

Для малых по сравнению со скоростью света скоростей движения частиц можно использовать приближения  и . Раскладывая правую часть (9.20) по степеням малого параметра 1/с, мы находим, что в этом пределе уравнение траектории приобретает привычный вид параболы,

.

Пример 9.3.
Рассчитать массу покоя m3 ядра трития H3 по данным эксперимента о рассеянии дейтрона H2 с массой покоя m2 и энергией E2, налетающего на неподвижный дейтрон с массой покоя m2, если при столкновении происходит процесс
,				(9.21)

в результате которого рождается ядро трития H3 с подлежащей определению массой m3, а также протон H1 с массой m1 и энергией E1, вылетающий под прямым углом к направлению импульса налетающего дейтрона [14].

Решение. Закон сохранения для полных механических энергий в процессе (9.21), с учётом того, что неподвижный дейтрон имеет энергию  , а вылетающее ядро трития имеет некоторую неизвестную энергию E3, принимает вид
.				(9.22)

Закон сохранения импульса с нулевым импульсом покоящегося дейтрона можно записать как
.					(9.23)

Поскольку импульсы и  по условию задачи ортогональны, то равенство (9.23) означает, что импульс  представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами и , поэтому от векторного равенства (9.23) можно перейти к скалярному равенству 

.					(9.24)

Из уравнения (9.22) мы находим, что
.				(9.25)

Вспомним, что масса покоя ядра трития m3 связана с его полной энергией  E3 и импульсом  выражением (9.13),  откуда

,				
или, с учётом (9.24), 
.			(9.26)

Подставим в (9.26) выражение для E3 из (9.25), и, выражая квадраты импульсов  согласно (9.13) как

и также подставляя их в (9.26), мы находим для искомой массы m3:

. 

После алгебраических преобразований и упрощений получаем окончательный ответ:
.

Задачи для самостоятельного решения

9.1. Две частицы, двигавшиеся в К-системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью , попали в неподвижную мишень с интервалом времени  нс. Найти расстояние между частицами до попадания в мишень в системе отсчета, в которой они покоились.
9.2. Два стержня одинаковой собственной длины  движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным . Какова скорость одного стержня относительно другого?
9.3. В К-системе отсчета скорость стержня , его длина  м., угол между ним и направлением движения . Найти собственную длину стержня.
9.4. С какой по модулю продольной скоростью должен двигаться стержень в некоторой инерциальной системе отсчета, чтобы его длина в ней оказалась вдвое меньше собственной?
9.5. Космический корабль движется в системе отсчета К, связанной с Землей, со скоростью  по направлению к центру Земли. Какое расстояние в этой системе отсчета пройдет корабль за промежуток времени  c, отсчитанный по корабельным часам?
9.6. С какой скоростью V относительно лабораторной системы отсчета 
       должен двигаться равнобедренный прямоугольный  треугольник, чтобы в 
       этой системе отсчета он был равносторонним?
9.7. На диаграмме пространство-время Минковского показаны координаты событий А и С (см. рис.9.1). Найти расстояние между точками, где произошли события, в той системе отсчета, где они произошли одновременно.
9.8. На диаграмме пространство-время Минковского показаны координаты событий А и B (см. рис.9.2). Найти промежуток  времени между этими событиями в той системе отсчета, где оба события произошли в одной точке.

                                
Рис.9.1. Диаграмма пространство-       Рис.9.2. Диаграмма пространство-    
                          время                                                          время

9.9. При какой скорости релятивистской частицы ее кинетическая энергия  
       равна энергии покоя?
9.10. Найти траекторию движения релятивистской частицы в однородном 
         постоянном магнитном поле H.

Ответы и указания к задачам

Глава 1.
1.1. T=2mv0/eE. 
1.2. Компоненты силы Fx= –mω2x,  Fy= –mω2y, Fz=mg. Полная энергия E=mω2(a2 + b2)/2 + mv02/2 = const.
1.3. Движение происходит в одной плоскости, обозначим её Oyz. Выберем ось Oz параллельно ускорению свободного падения и обозначим угол между вектором начальной скорости с модулем v0 и осью Oy через α0.  Начальные значения координат есть y0, z0. Зависимость координат от времени после интегрирования уравнений движения определяется выражениями:
	, 
.
1.4. Зависимость координат от времени после интегрирования уравнений движения определяется выражениями:
, , , где ось Oz направлена вдоль магнитного поля, ωс=eH / mc есть циклотронная частота, параметры  A, α и C1…4 определяются из начальных значений координат и скорости частицы.
1.5.  Направим ось Oz параллельно ускорению свободного падения вниз. Движение является одномерным. Интегрируя уравнение движения, находим зависимость скорости от времени: , и закон движения, считая, что z(0) = 0:  В пределе              t →∞ скорость стремится к пределу , при этом сила сопротивления среды уравновешивает силу тяжести.

Глава 2.
2.1. а) ;
       б)  
2.2. Указание: в качестве обобщенной координаты удобно ввести угол  между радиусом, проведенном в точку касания натянутой нити с блоком, и горизонтальной осью .

2.3. У диполя три степени свободы: координаты  и  тела массы  и угол  между осью диполя и горизонтальной осью . Функция Лагранжа   - расстояние между массами, у массы  заряд ,  
2.4.  Сила, действующая на частицу,   
2.5.  
2.6. Функция Лагранжа . Переменная    
       является циклической, поэтому остается одно уравнение Лагранжа  
       относительно переменной : 
2.7. При   – устойчивое положение равновесия,  – 
       неустойчивое положение равновесия. При   и  – 
       неустойчивые положения равновесия, а  – устойчивое
2.8.  
         
         Здесь  и  – смещения первого и второго грузиков относительно их        
         положений равновесия.

Глава 3.
3.1. Интегралами движения являются ( – заряд электрона,  – скорость света):
а) ,  и энергия  
б) , ,  
3.2. а) , , 
       б) 
       в) 
       г) 
       д) 
       е) ,  – шаг винтовой линии
3.3. Оптимальной является система координат, одна из осей которой (пусть ось ) направлена по заданному постоянному вектору a. Тогда интегралами движения будут являться , ,  и .
3.4. 
3.5. 
3.6. 

Глава 4.
4.1. 
4.2. При   
       При  
       При  
4.3. . Частота колебаний . В предельном случае  , что соответствует частоте малых колебаний в параболическом потенциале . При  частица движется практически свободно между точками остановки  с частотой .

Глава 5.
5.1.  
5.2.  
5.3. а) ; б)  
5.4. При  движение будет финитным, при  – инфинитным. Уравнение траектории в полярных координатах при  имеет вид . Здесь  – момент импульса частицы,  – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий (в задаче не заданы).
5.5. Нет
5.6.  
5.7. Траектория груза массы  лежит между окружностями радиусов  и , где 
5.8.  
5.9. Уравнение траектории , ,   
       . Движение будет финитным при 
         . , , . Для замкнутости траектории  
         необходимо, чтобы  было рациональным числом.
5.10. Частицы будут двигаться по подобным коническим сечениям с общим 
         фокусом: , где , , .
5.11. При энергии налетающих частиц из интервала  сечение 
         падения . Во всех остальных случаях 
          
5.12. Недостижимая для частиц область  (параболоид 
         вращения)
5.13.  
5.14.  
5.15. ,  
5.16. , , , 
         
5.17. , , , 
5.18 

Глава 6.
6.1.  
6.2. ,  
6.3.  
6.4.  
6.5. При  закон движения имеет вид 
      .
      В случае резонанса (когда )   
6.6.  
6.7.  
6.8.  
6.9. , . Нормальные координаты , где  – отклонения первого и второго маятников от вертикали.
6.10. Энергия, получаемая системой, которая совершает вынужденные 
         колебания под действием силы , определяется выражением 
         . Подставляя явный вид , получаем 

Глава 7.
7.1. Указание: ось  декартовой системы координат направить по 
       биссектрисе угла, образованного согнутым стержнем, ось  – 
       перпендикулярно его плоскости. , , 
       . Твердое тело окажется симметрическим волчком, если 
       угол  равен одному из следующих значений:.
7.2. Указание: воспользоваться теоремой Гюйгенса-Штейнера. В исходной 
       системе координат центр масс есть . В системе центра масс  
       с осями, параллельными сторонам пластинки, тензор инерции 
       . Оси этой системы координат являются 
       главными осями инерции.
7.3. В системе координат с центром в точке пересечения медиан 
       треугольника и осью , параллельной его основанию, тензор инерции 
       имеет вид 
7.4. В системе координат, связанной с вершиной и катетами треугольника, 
      центр масс имеет координаты . В системе центра масс (ее оси 
       по-прежнему параллельны катетам) тензор инерции 
       
7.5.  
7.6. 
7.7. а) ; б) 
7.8. 

Глава 8.
8.1.  
8.2.  
8.3.  
8.4. 
8.5.  
8.6.  

Глава 9.
9.1.  
9.2.  
9.3.  ()
9.4.  
9.5.  
9.6.  
9.7.  
9.8.  
9.9. 

9.10. Направив ось  вдоль магнитного поля, имеем 
       ,,.
       Здесь  и  – начальная скорость движения частицы в плоскости 
        и вдоль оси , соответственно; ,  – энергия частицы. В 
       частном случае  траектория частицы в плоскости  является 
       окружностью радиуса . При этом, если энергия частицы 
       достаточно мала, частота движения по окружности переходит в 
       циклотронную частоту .

Литература

[1] Ландау, Л.Д. Механика. (Теоретическая физика, том I) / Л.Д. Ландау,  Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1988. – 216 с.
[2] Коткин, Г.Л. Сборник задач по классической механике / Г.Л. Коткин,           В.Г. Сербо. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 352 с. 
[3] Ольховский, И.И. Курс теоретической механики для физиков /                     И.И. Ольховский. – М., Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 575 с.
[4] Ольховский, И.И. Задачи по теоретической механике для физиков /              И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков. – М., Изд-во Моск. ун-та, 1977. – 395 с.
[5] Голдстейн, Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. – М.: Наука, 1975. – 415 с.
[6] Максимов, И.Л. Контрольные задания по теоретической механике. /            И.Л. Максимов, С.Ю. Потапенко, М.Я. Широбоков. – Горький, Издание ГГУ, 1984. – 23 с.
[7]  Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М., Наука, 1973. – 832 с.
[8]  Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 с.
[9]  Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука, Физматлит, 1999. – 296 с.
[10] Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов,                      А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: Физматлит, 2005. – 256 с; 
[11] Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1969. – 424 с.
[12] Марков, К.А. Избранные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений для физиков / К.А. Марков,                   М.А. Фаддеев, Д.В. Хомицкий. – Нижний Новгород: Изд.-во Нижегородского госуниверситета, 2015. – 261 с.
[13] Ландау, Л.Д. Теория поля. (Теоретическая физика, том II) / Л.Д. Ландау,  Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
[14] Воробьёв, И.И. Теория относительности в задачах / И.И. Воробьёв. –           М.: Наука, 1989. – 176 с.
[15] Сборник задач по теоретической физике / Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. – М.: Высшая школа, 1984. – 319 с.

Оглавление

Предисловие …………………………………………………………...3

Глава 1. Ньютонова механика ………………………………………. 4

Глава 2. Уравнения Лагранжа………………………………………..11

Глава 3. Законы сохранения …………………………………………16

Глава 4. Одномерное движение…………………………………….. 20

Глава 5. Движение в центральном поле и рассеяние……………... 24

Глава 6. Малые колебания …………………………………………. 37

Глава 7. Динамика твёрдого тела …………………………….......... 46 

Глава 8. Уравнения Гамильтона …………………………………… 53

Глава 9. Специальная теория относительности …………………..  60

Ответы и указания к задачам……………………………………….. 68

Литература …………………………………………………………... 77

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Электронное учебно-методическое пособие

Составители:
Анатолий Александрович Перов
Алексей Валентинович Тележников
Денис Владимирович Хомицкий

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Подписано в печать XX.XX.2017